III Olimpíada Centroamericana y del Caribe

Barranquilla, Colombia, 25 y 26 de julio de 2001

Primer Día

Problema 1.
Dos jugadores A y B y otras 2001 personas forman un círculo, de modo que A y B no quedan en posiciones consecutivas. A y B juegan por turnos alternadamente empezando por A. Una jugada consiste en tocar a una de las personas que se encuentra a su lado, la cual debe salir del círculo. Gana el jugador que logre sacar del círculo a su oponente.
Demostrar que unos de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y describir dicha estrategia.

Nota: Un jugador tiene una estrategia ganadora si puede garantizar su victoria sin importar como juegue su rival.

Problema 2.
Sea AB un diámetro de una circunferencia S con centro O y de radio 1. Sean C y D dos puntos tales que AC y BD se cortan en un punto Q situado en el interior de S y AQB = 2COD. Sea P el punto de corte de las tangentes a S que pasan por los puntos C y D.
Determinar la longitud del segmento OP.

Problema 3.
Encontrar todos los números naturales N que cumplan las dos condiciones siguientes:

• Sólo dos de los dígitos de N son distintos de 0 y uno de ellos es 3.
• N es un cuadrado perfecto.

Segundo Día

Problema 4.
Determinar el menor entero positivo n para el cual existan enteros positivos a₁, a₂, ..., a_n, menores o iguales que 15 y no necesariamente distintos, tales que los cuatro últimos dígitos de la suma

sean 2001.

Problema 5.
Sean a,b y c números tales que la ecuación ax² + bx + c = 0 tiene dos soluciones reales distintas p₁,p₂ y la ecuación cx² + bx + a = 0 tiene dos soluciones reales distintas q₁,q₂. Se sabe que los números p₁,q₁, p₂,q₂ en ese orden, forman una progresión aritmética. Demostrar que a + c = 0.

Problema 6.
Se marcan 10000 puntos sobre una circunferencia, y se numeran de 1 a 10000 en el sentido de las manecillas del reloj. Se trazan 5000 segmentos de recta de manera que se cumplan las tres condiciones siguientes:

• Cada segmento une dos de los puntos marcados.
• Cada punto marcado pertenece a uno y sólo un segmento.
• Cada segmento intersecta exactamente a uno de los segmentos restantes.

A cada segmento se le asocia el producto de los números asignados a sus dos puntos extremos. Sea S la suma de los productos asociados a todos los segmentos.
Demostrar que S es múltiplo de 4.

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