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 IV
Olimpíada Matemática de Centroamérica y el Caribe
Mérida, México, 2 y 3 de julio de 2002
Primer Día
Problema 1.
¿Para qué enteros n  3 es
posible acomodar, en algún orden, los números 1, 2, ..., n en forma
circular de manera que cualquier número divida a la suma de los dos números
siguientes en el sentido de las manecillas del reloj?
Problema 2.
Sea ABC un triángulo acutángulo y sean D y E los
pies de las alturas desde los vértices A y B, respectivamente.
Muestre que si
área(BDE)  área(DEA)
área(EAB)
área(ABD)
entonces el triángulo es isósceles.
Problema 3.
Para cada entero a > 1 se construye una lista infinita de enteros
L(a) como sigue:
- a es el primer número de la lista L(a)
- Dado un número b en L(a), el siguiente número en la
lista es b+c, donde c es el mayor entero que divide a
b y es menor que b.
Encuentre todos los enteros a > 1 tales que 2002 está en
la lista L(a).
Segundo Día
Problema 4.
Sean ABC un triángulo, D el punto medio de BC, E
un punto sobre el segmento AC tal que BE=2AD y F
el punto de intersección de AD con BE. Si el ángulo DAC
mide 60o, encuentre la medida de los ángulos del triángulo
FEA.
Problema 5.
Encuentre un conjunto infinito de enteros positivos S tal que para
cada n1 y cualesquiera n elementos distintos
x1,x2,...,xn de S,
el número x1 + x2 + ... + xn no
es un cuadrado perfecto.
Problema 6.
En el plano coordenado se tiene la cuadrícula de n  n, con n entero mayor o igual que 2,
cuyos vértices son los puntos (x,y), con x y y enteros
que cumplen 0xn y 0yn. Considere los caminos que van de (0,0)
a (n,n) sobre las líneas de esta cuadrícula y que sólo avanzan
hacia la derecha o hacia arriba. Uno de tales caminos se llama equilibrado
si la suma de los valores de x de todos los puntos por los que
pasa es igual a la suma de todos los valores de y de esos mismos
puntos. Muestre que todo camino equilibrado divide al cuadrado de lado
n en dos figuras de la misma área.
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