XIV Olimpíada Matemática de Países del Cono Sur

24 al 30 de mayo de 2003
Ica - Perú

Pruebas

Primer día

Problema 1

En un torneo de fútbol entre cuatro equipos A, B, C y D, cada equipo juega con cada uno de los otros una sola vez.

a) Decidir si es posible que al finalizar el torneo, las cantidades de goles anotados y recibidos por los equipos sean:

Si la respuesta es afirmativa, dar un ejemplo para los resultados de los seis partidos; en caso contrario, justificar por qué.

b) Decidir si es posible que, al finalizar el torneo, las cantidades de goles anotados y recibidos por los equipos sean:

Si la respuesta es afirmativa, dar un ejemplo para los resultados de los seis partidos; en caso contrario, justificar por qué.

Problema 2.

Sea la sucesión {an} definida de la siguiente forma:

a₁=1
a₂=3
a_n+2=2a_n+1 a_n+1 ; para todo n mayor o igual que 1.

Probar que la máxima potencia de 2 que divide a₄₀₀₆ – a₄₀₀₅ es 2²⁰⁰³

Problema 3

Sea ABC un triángulo acutángulo tal que el ángulo B mide 60º. La circunferencia de diámetro AC corta a las bisectrices interiores de los ángulos A y C en los puntos M y N, respectivamente (M distinto de A y N distinto de C). La bisectriz interior del ángulo B corta a MN y AC en los puntos R y S, respectivamente. Demostrar que BR es menor o igual a RS.

Duración 4 horas.

Segundo Día

Problema 4

En un triángulo acutángulo ABC, los puntos H, G y M se encuentran sobre el lado BC, de modo que AH, AG y AM son altura, bisectriz y mediana del triángulo, respectivamente. Se Sabe que HG=GM, AB=10 y AC=14. Determinar el área del triángulo ABC.

Problema 5

Sea n=3k + 1, donde k es un entero mayor o igual que 1. Se construye un arreglo triangular de lado n formado por círculos del mismo radio como el mostrado en la figura cuando n=7.

Determinar, para cada k, el mayor número de círculo que pueden colerearse de rojo de tal modo que no haya dos círculos de color rojo tangentes entre sí.

Problema 6.

Demostrar que existe una sucesión de enteros positivos x1, x2, x3, .. xn, ... que satisface las dos condiciones siguiente:

1. contiene exactamente una vez cada uno de los enteros positivos
2. para cada n=1,2, ... la suma parcial x1 + x2 + ... + xn es divisible por nn

Duración: 4 horas

Versión en portugués (sitio OBM en PDF)