Cinco problemas de enunciado curioso

1. En un remoto sistema solar hay un número impar de planetas; en un cierto momento las distancias entre ellos son todas distintas. Hay un astrónomo en cada planeta, que estudia el planeta más próximo a él. Demostrar que hay un planeta que no es estudiado por ningún astrónomo.(Procedencia:Kömal)

2. Un caníbal aparece en la orilla del lago circular en el que se está bañando Robinson Crusoe. Robinson sabe que el caníbal corre en tierra a una velocidad 4 veces mayor que la que nada. Por otra parte, Robinson es más veloz que el caníbal, fuera del agua, luego si puede alcanzar un punto de la orilla antes que el caníbal, podrá escapar. ¿Puede huir Robinson?(Procedencia: Kömal)

3. Para n=1; 2; 3; ... , la sucesión finita S_n es una permutación de 1; 2; 3; ... ; n, formada según una ley que debe determinarse. De acuerdo con esta ley, se tiene:

S₁=(1)
S₂=(2; 1)
S₃=(2; 3; 1)
S₄=(4; 2; 3; 1) ...
S₉=(5; 4; 2; 9; 8; 6; 7; 3; 1)

Descubrir la ley de formación y dar S₁₀:(Procedencia:Crux Mathematicorum)

4. Un hombre ha viajado durante 30 días. El día de su partida ha recorrido 11 leguas; pero en los días siguientes, su marcha se ha hecho más lenta, de modo que si a partir del segundo día se compara el trayecto hecho cada día con el hecho la víspera, se obtienen sucesivamente como cocientes las razones

3/5 ; 4/6 ; 5/7 ; 6/8 ;... ¿Cuántas leguas ha recorrido en los 30 días? (Procedencia:Mathesis)

5. Una isla tiene gatos, pájaros y serpientes. Cada día, cada gato desayuna un pájaro; cada serpiente come un gato y cada pájaro cena una serpiente. No hay otras muertes, ni nacimientos. A cierta hora del día n del mes, un pájaro se convierte en el único ser viviente de la isla. ¿Después de qué comida ocurrió esto? Hallar una expresión para el número de pájaros antes del desayuno, en el primer día de ese mes. (Procedencia: The Mathematical Gazette).