Excepcionalmente, en esta ocasión presentamos dos temas dentro de los Divertimentos.

El año 1988 fue el primero en el que un grupo de estudiantes olímpicos de Canadá puso en marcha la revista Mathematical Mayhem, que posteriormente se refundiría con Crux Mathematicorum.

En su número inicial, y con un propósito perfectamente serio, Andy Liu, que en seguida apoyó la iniciativa de Ravi Vakil y sus compañeros, planteó la situación que describimos a continuación, para evitar el bien conocido "temor a las demostraciones" que hoy atenaza a muchos estudiantes (y hay que hacer constar que la culpa no es suya….). El objetivo es, partiendo de los postulados que se citan más abajo, demostrar los teoremas que siguen:

Consideramos la situación en la que algunos leones muerden a algunos corderos.

Postulado 1: Hay al menos 2 leones.
Postulado 2: Cada león muerde a, al menos, tres corderos.
Postulado 3: Para cualquier par de leones, hay exactamente un cordero que es mordido por los dos.
Postulado 4: Para cualquier par de corderos, hay al menos un león que ha mordido a ambos.

Demuestre, si puede, los 8 teoremas siguientes:

Teorema 1: Hay al menos dos corderos.
Teorema 2: Cada cordero ha sido mordido por, al menos, tres leones.
Teorema 3: Para cualquier par de corderos, hay exactamente un león que los ha mordido a los dos.
Teorema 4: Para cualquier par de leones, hay al menos un cordero que ha sido mordido por los dos.
Teorema 5: Para cualquier león del conjunto, hay al menos un cordero que no ha sido mordido por él.
Teorema 6: Para cualquier cordero del conjunto, hay al menos un león que no lo ha mordido.
Teorema 7: Para cualquier par de leones, existe al menos un cordero que no ha sido mordido por ninguno de los dos.
Teorema 8: Para cualquier par de corderos, existe al menos un león que no ha mordido a ninguno de ellos.

Invitamos a los lectores de REOIM a que demuestren estos teoremas, o elijan algunos de ellos como postulados y prueben los postulados que se habrán convertido en teoremas.

Asigne a cada proposición que sigue una puntuación entre 0 y 10 (valen los empates). Envíe el resultado, a ser posible por correo electrónico, al editor:
Francisco Bellot Rosado
franciscobellot@gmail.com,
acompañado de los comentarios o sugerencias que considere adecuados. En algún número de REOIM 2007 haremos público el resultado del plebiscito.

A) Hay infinitos números primos.
B) Sólo hay cinco poliedros regulares
C) El cuadrilátero de área máxima, de lados prefijados a,b,c y d, es el inscrito en una circunferencia.
D) No hay triángulos equiláteros cuyos vértices sean puntos con coordenadas enteras.
E) Todo mapa plano se puede colorear con 4 colores.
F) Raíz cuadrada de 2 es irracional.
G) El gran teorema de Fermat
H) Pi es trascendente.
I) Toda matriz cuadrada es raíz de su polinomio característico.
J) Un icosaedro regular inscrito en un octaedro regular divide a las aristas de éste en la razón áurea.
K) La fórmula de Euler para poliedros: Caras + Vértices = Aristas + 2.
L) Si los puntos del plano se colorean con tres colores, hay un par de puntos del mismo color cuya distancia mutua es 1.
M) Una aplicación continua del disco unidad cerrado en sí mismo tiene un punto fijo.
N) El teorema de Pitágoras
O) El conjunto de los números racionales es numerable.

Valladolid, diciembre 2006
Francisco Bellot