Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.

Problema 81
Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez,(Ávila, España). Dedicado a la memoria del Prof. Miguel de Guzmán Ozámiz.
Sea OMNP un paralelogramo y ABCD un cuadrilátero inscrito en OMNP. Sean:

demostrar que X,Y,U,V están en línea recta y calcular la razón doble (X, Y, U, V).

Problema 82
Propuesto por José Luis Díaz-Barrero, Barcelona, España.

Sea n un entero positivo. Probar que

siendo F_n el n -ésimo número de Fibonacci, definido por:

F₁ = F₂ = 1, F_n=F_n-1 + F_n-2

Problema 83
Propuesto por Alex Sierra Cárdenas, Medellín, Colombia.

Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC. Sea X un punto de BC distinto de los extremos, y sean m_AX, m_BX, m_CX las mediatrices de AX,BX y CX, respectivamente. Demostrar que la suma de las magnitudes de los dos segmentos que se determinan al cortarse mBX y m_CX con m_AX y la base BC, es igual a la magnitud de la mediana de ABC relativa a la base.

Problema 84
(enviado por Bruno Salgueiro Fanego; fué propuesto como problema #1en las Oposiciones para Profesores de Educación Secundaria de Galicia en 2004).

La parte contrincante A envía a la región de disposición de su adversario B dos bombarderos I y II; el I vuela por delante y el II lo sigue. Uno de los bombarderos - de antemano se sabe cuál - debe llevar una bomba y el otro cumple la función de escolta. En la región del enemigo los bombarderos son atacados por un caza de la parte B.

Los bombarderos están pertrechados con cañones de distinto ritmo de fuego: Si el caza ataca al bombardero posterior II, contra aquél dispararán sólo los cañones de ese bombardero, mientras que si el caza ataca al bombardero delantero I, contra el mismo hacen fuego los cañones de ambos bombarderos. La probabilidad de destrucción del caza en el primer caso es de 0.3 y en el segundo,de 0.7.

Si el caza no fue derribado por el fuego defensivo de los bombarderos, aquél destruye el objetivo escogido con probabilidad 0.6. La tarea de los bombarderos consiste en hacer llegar la bomba al blanco; la del caza, en impedirlo, es decir, abatir el bombardero portador. Se desea encontrar las estrategias óptimas de las partes:

i) Para la parte A: ¿Qué bombardero deberá ser el portador?
ii) Para la parte B: ¿A cuál de los bombarderos atacar?

Problema 85
(Enviado por Bruno Salgueiro Fanego; fué propuesto con el #8 en la Oposiciones a Profesores de Educación Secundaria de Galicia en 2004).

En un autobús se encuentran n viajeros. En la próxima parada baja cada viajero independientemente de los otros con probabilidad p. La probabilidad de que al autobús no suba ya un ningún nuevo viajero es p₀ y la de que suba un pasajero es 1 - p₀.

a) Hallar la probabilidad de que después de la salida del autobús de la parada se encuentren en él n pasajeros.
b) Hallar la probabilidad de que, después de dos paradas se encuentren nuevamente n pasajeros en el autobús. (Nota: en los cálculos debe tenerse en cuenta que un viajero que subió en
la primera parada puede bajarse en la segunda con probabilidad p).