Ningún problema se considerará definitivamente cerrado. Nuevos puntos de vista sobre problemas anteriores siempre son bienvenidos.

Las soluciones deben enviarse por correo electrónico a la dirección revistaoim@oei.es, en ficheros de formato tex, ps o doc, adjuntos al mensaje. Si hubiera figuras, se incluirán en formato gif.

Problema 31
(propuesto por Laurentiu Modan, Bucarest, Rumania)

Se considera el conjunto

Se sabe que, si m < n, el número de todas las aplicaciones inyectivas f F es 12; y que, si m = n, el número de todas las biyecciones f F es 24.

Se pide:
a) Calcular |F| cuando m es distinto de n.
b) ¿Cuántas aplicaciones sobreyectivas hay en F si m es distinto de n?

Problema 32

Sea V_p,q el número de variaciones sin repetición de p elementos tomados de q en q.
Se supone que m es un número primo impar.
Resolver la ecuación

Problema 33

(I.Sharygin; comunicado al editor por el Prof. Jean-Louis Ayme, St.Denis, isla de la Reunión, Francia)

Sean C ₁ y C ₂ dos circunferencias secantes en P y Q. Sea t una tangente común a las dos circunferencias. Sean R y S los puntos de contacto respectivos de t con C ₁ y C ₂.

Sean :
A, un punto de C ₁;
B, el segundo punto de intersección de AP con C ₂;
C, el segundo punto de intersección de C ₁ con la paralela a BS que pasa por R;
D, el segundo punto de intersección de CQ con C ₂.

Demostrar que RA y SD son paralelas.

Problema 34

(propuesto en la Escuela de Ingenieros Agrónomos, Madrid , 1941)

Dos jugadores, juegan de la siguiente manera: Dado un número N de objetos (N > 1), los dos jugadores tienen la facultad de tomar alternativamente 1, 2 ó 3 objetos. El jugador que toma el último objeto pierde. ¿Cuál de los dos jugadores, y en qué casos, tiene una estartegia ganadora?

Problema 35

Se aplican a los vértices A, B, C, D de un tetraedro cuatro masas cualesquiera a, b, c, d y se buscan los centros de gravedad de estas masas combinados dos a dos, lo cual da seis puntos sobre las aristas. Demostrar que el volumen del sólido cuyos vértices son estos seis puntos se halla con el volumen del tetraedro ABCD en la relación siguiente: