Problemas
VII Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Caracas, Venezuela
19 al 27 de septiembre de 1992

Problema 1

Para cada entero positivo n, sea a_n el último dígito del número. 1+2+3+...+n Calcular a₁ + a₂ + a₃ + ... + a₁₉₉₂.

Problema 2

Dadas la colección de n números reales positivos a₁ a₂ a₃ ... a_n y la función

Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los x=1.

Problema 3

En un triángulo equilátero ABC cuyo lado tiene longitud 2 se inscribe la circunferencia G.

1. Demostrar que para todo punto P de G, la suma de los cuadrados de sus distancias a los vértices A, B y C es 5.
2. Demostrar que para todo punto P de G es posible construir un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos AP, BP y CP, y que su área es:

/4

Problema 4

Sean (a_n) y (b_n) dos sucesiones de números enteros que verifican las las siguientes condiciones:

1. a₀=0, b₀=8
2. a₁=2
3. a_n es un cuadrado perfecto para todo n. Encontrar un número N de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con cinco cifras de N.

Problema 5

Se da la circunferencia C y los números positivos h y m de modo que existe un trapecio ABCD inscrito en C, de altura h y en el que la suma de las bases AB y CD es m. Construir el trapecio ABCD.

Problema 6

A partir del triángulo T de vértices A, B y C se construye el hexágono H de vértices A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ como se muestra en la figura. Demostrar que:

área(H) 13.área(T)

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