Problemas
XI Olimpíada Iberoamericana de Matemática
San José, Costa Rica
22 a 30 de septiembre de 1996
Problema 1
Sea n un número natural. Un cubo de
arista n puede ser dividido en 1996 cubos cuyas aristas son también
números naturales. Determine el menor valor posible de n.
Problema 2
Sea M el punto medio de la mediana AD
del triángulo ABC (D pertenece al lado BC).
La recta BM corta al lado AC en el punto N.
Demuestre que AB es tangente a la circunferencia circunscrita
al triángulo NBC si, y solamente si, se verifica la igualdad
Problema 3
Tenemos un tablero cuadriculado de k2-k+1
filas y k2-k+1 columnas, donde k=p+1
y p es un número primo. Para cada primo p, de
un método para distribuir números 0 y 1, un número
en cada casilla del tablero, de modo que en cada fila haya exactamente
k números 0 y además no haya ningún rectángulo
de lados paralelos a los lados del tablero con números 0 en sus
cuatro vértices.
Problema 4
Dado un número natural n 2, considere todas las
fracciones de la forma 1/ab , donde a y b son
números naturales, primos entre sí y tales que
a a b  n
a + b a n
Demuestre que para cada n la suma de estas
fracciones es 1/2.
Problema 5
Tres fichas A, By C están
situadas una en cada vértice de un triángulo equilátero
de lado n. Se ha dividido el triángulo en triangulitos
equiláteros de lado 1, tal como muestra la figura en el caso n=3.
Inicialmente todas las líneas de la figura están
pintadas de azul. Las fichas se desplazan por las líneas, pintando
de rojo su trayectoria, de acuerdo con las dos reglas siguientes:
i. Primero se mueve A, después
B, después C, después A y así
sucesivamente por turnos. En cada turno cada ficha recorre exactamente
un lado de un triángulo de un extremo a otro.
ii. Ninguna ficha puede recorrer un lado de
un triangulito que ya esté pintado de rojo; pero puede descansar
en un extremo pintado, incluso si ya hay otra ficha esperando allí
su truno.
Demuestre qye oara todo entero n0 es posible
pintar de rojo todos los lados de los triangulitos.
Problema 6
Se tienen n puntos distintos A1
, ... , An en el plano y a cada punto Ai
se ha asignado un número real 
distinto de cero, de manera que
para todos los i, j con
i j.
Demuestre que
a) n 4
b) Si n=4, entonces 
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