Problemas
XIV Olimpíada Iberoamericana de Matemática
La Habana, Cuba
11 al 19 de septiembre de 1999
Problema 1
Halle todos los enteros positivos que son menores que
1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de
sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Problema 2
Dadas dos circunferencias M y N, decimos que
M biseca a N si la cuerda común es un diámetro de N.
Considere dos circunferencias fijas C1
y C2 no concéntricas.
a) Pruebe que existen infinitas circunferencias B tales
que B biseca a C1 y B biseca a C2.
b) Determine el lugar geométrico de los centros
de las circunferencias B.
Problema 3
Sean n puntos distintos, P1,
P2, ..., Pn , sobre una recta
del plano (n a 2). Se consideran las circunferencias de
diámetro PiPj
(1 a i j a n) y coloreamos cada circunferencia
con uno de k colores dados. Llamamos (n, k)-nube
a esta configuración.
Para cada entero positivo k, determine todos
los n para los cuales se verifica que toda (n, k)-nube
contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.
Nota (*): Para evitar ambigüedades, los
puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.
Problema 4
Sea B un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus
dígitos pertenece al conjunto {1, 3, 7, 9}. Demuestre que 8 tiene
un factor primo mayor o igual que 11.
Problema 5
Un triángulo acutángulo ABC está
inscrito en una circunferencia de centro O.
Las alturas del triángulo son AD, BE y
CF. La recta EF corta a la circunferencia en P
y Q.
a) Pruebe que OA es perpendicular a PQ.
b) Si M es el punto medio de BC, pruebe que AP2=2
. AD . OM
Problema 6
Sean A y B puntos del plano y C
un punto de la mediatriz de AB. Se construye una sucesión
C1, C2, ...
, Cn, ... de la siguiente manera:
C1 =C y para n a
1, si Cn no pertenece al segmento
AB, Cn+1 es el circuncentro del triángulo
ABCn.
Determine todos los puntos C tales que la sucesión
C1, C2, ..., Cn,
...está definida para todo n y es periódica a partir
de un cierto punto.
Nota (*): Una sucesión C1,
C2, ..., Cn,
... es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros
positivos k y p tales que Cn+p=Cn
para todo n a k.
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