Problemas
X Olimpíada Iberoamericana de Matemática
Región V, Chile
23 al 30 de septiembre de 1995
Problema 1
Determine los posibles valores de las sumas de los
dígitos de todos los cuadrados perfectos.
Problema 2
Sea n un número entero mayor que 1. Determine
los números reales
X1, X2,
... ,Xn  1, y Xn+1
0
que verifican las dos condiciones siguientes:
- X11/2 + X23/2
+ ... + Xnn+1/2 =n.Xn+11/2
- (X1 + X2 + ... + Xn)/n=Xn+1
Problema 3
Sean r y s dos rectas ortogonales y que
no están en el mismo plano.
Sea AB su perpendicular común, donde A r y Bs (*).
Se considera la esfera de diámetro AB. Los puntos M
de la recta r, y N de la recta s, son variables,
con la condición de que MN sea tangente a la esfera en un
punto T.
Determine el lugar geométrico de T.
Nota (*): el plano que contiene a B y
r es perpendicular a s.
Problema 4
En un tablero de m x n casillas se colocan fichas.
Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas
de la fila ( - ), la columna ( | ) y la diagonal ( \ ) a la que pertenece
(*). Determine el menor número de fichas deben colocarse para que
queden "dominadas" todas las casillas del tablero.
Nota (*): observe que la ficha no "domina"
la diagonal (/).
Problema 5
La circunferencia inscrita en el triángulo ABC
es tangente a BC, CA y AB en D, E y
F respectivamente.
Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a AD en su punto
medio X, es decir, AX=XD.
Las rectas XB y XC cortan de nuevo a la circunferencia inscrita
en Y y en Z, respectivamente.
Demuestre que EY=FZ.
Problema 6
Una función f:N -- N es circular si para
cada p en N existe n en N con n p tal que
f n(p)=f( f(
... n veces ... f(p)))=p
La función f tiene grado de repulsión
k, 0 a ka1, si para cada p en N,
f i (p) p para i=1,
2, ... , [k.p] (*).
Determine el mayor grado de repulsión que puede
tener una función circular.
Nota (*): [x] indica el mayor entero menor
o igual que x.
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