Problemas
XVI Olimpíada Iberoamericana de Matemática

Minas, Uruguay
24 al 29 de septiembre de 2001

Problema 1

Decimos que un número natural n es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

• Todos los dígitos de n son mayores que 1
• Siempre que se multipliquen cuatro dígitos de n, se obtiene un divisor de n.

Demostrar que para cada número natural k existe un número charrúa con más de k dígitos.

Problema 2

La circunferencia inscrita en el triángulo ABC tiene centro O y es tangente a los lados BC, AC y AB en los puntos X, Y y Z, respectivamente. Las rectas BO y CO intersectan a la recta YZ en los puntos P y Q, respectivamente.

Demostrar que si los segmentos XP y XQ tienen la misma longitud, entonces el triángulo ABC es isósceles.

Problema 3

Sean S un conjunto de n elementos y S₁, S₂, ..., S_k subconjuntos de S (k > 2), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos r elementos.

Demostrar que existen i y j, con 1< i < j < k tales que la cantidad de elementos comunes de S_i y S_j es mayor o igual que

Problema 4

Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión a₁ < a₂ <...< a_n de n > 3 números reales.

Nota: Tres términos a_i, a_j, a_k de una sucesión de números reales forman una progresión aritmética creciente si a_i < a_j < a_k y a_j - a_i = a_k - a_j.

Problema 5

En un tablero de 2000 x 2001 las casillas tienen coordenadas (x,y) con x, y enteros, 0 < x < 1999 y

0 < y < 2000. Una nave en el tablero se mueve de la siguiente manera: antes de cada movimiento, la nave está en una posición (x,y) y tiene una velocidad (h,v) donde h y v son enteros. La nave escoge una nueva velocidad (h',v') de forma que h'-h sea igual a -1, 0 ó 1 y v'-v sea igual a -1, 0 ó 1. La nueva posición de la nave será (x',y') donde x' es el resto de dividir x + h' entre 2000 e y' es el resto de dividir y + v' entre 2001.

Hay dos naves en el tablero: la marciana y la terrestre que quiere atrapar a la marciana. Inicialmente cada nave está en una casilla del tablero y tiene velocidad (0,0). Primero se mueve la nave terrestre y continúan moviéndose alternadamente.

¿Existe una estrategia que siempre le permita a la nave terrestre atrapar a la nave marciana, cualesquiera que sean las posiciones iniciales?

Nota: la nave terrestre, que siempre ve a la marciana, atrapa a la marciana si después de un movimiento suyo cae en la misma posición de la marciana.

Problema 6

Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado 1 con cinco cuadrados iguales de lado menor que 1/2.

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